Teorema lui Bayes este o formulă matematică pentru determinarea probabilității condiționate. În finanțe, teorema lui Bayes poate fi utilizată pentru a evalua riscul de a împrumuta bani potențialii împrumutați. Aplicațiile teoremei lui Bayes sunt larg răspândite și nu se limitează la domeniul financiar. Să vedem atunci ce este teorema lui Bayes, cum se calculează și cum se aplică prin câteva exemple.
Ce este teorema lui Bayes
Teorema lui Bayes, numită după matematicianul britanic din secolul al XVIII-lea Thomas Bayes, este o formulă matematică pentru determinarea probabilității condiționate. Probabilitatea condiționată este probabilitatea ca un rezultat să apară, având în vedere dacă un rezultat anterior a avut loc în circumstanțe similare. Teorema lui Bayes permite ca predicțiile sau teoriile existente să fie revizuite (actualizarea probabilităților) pe baza unor dovezi noi sau suplimentare. În finanțe, teorema lui Bayes poate fi utilizată pentru a evalua riscul de a împrumuta bani potențialii împrumutați. Teorema se mai numește și Regula lui Bayes sau Legea lui Bayes și este fundamentul domeniului statisticii bayesiene.
Pentru ce este teorema lui Bayes?
Aplicațiile teoremei lui Bayes sunt larg răspândite și nu se limitează la domeniul financiar. De exemplu, teorema lui Bayes poate fi folosită pentru a determina acuratețea rezultatelor testelor medicale ținând cont de probabilitatea ca o anumită persoană să aibă o boală și de acuratețea generală a testului. Teorema lui Bayes se bazează pe încorporarea distribuțiilor de probabilitate anterioare pentru a genera probabilități posterioare. În inferența statistică bayesiană, probabilitatea anterioară este probabilitatea ca un eveniment să aibă loc înainte ca noi date să fie colectate. Cu alte cuvinte, reprezintă cea mai bună evaluare rațională a probabilității unui anumit rezultat pe baza cunoștințelor curente înainte de a efectua un experiment.
Care este formula pentru teorema lui Bayes?
Probabilitatea posterioară este probabilitatea revizuită ca un eveniment să se producă după luarea în considerare a informațiilor noi. Probabilitatea posterioară este calculată prin actualizarea probabilității anterioare folosind teorema lui Bayes. În termeni statistici, probabilitatea posterioară este probabilitatea ca evenimentul A să se producă dacă evenimentul B a avut loc . Formula poate fi folosită și pentru a determina modul în care probabilitatea ca un eveniment să se producă poate fi afectată de informații noi ipotetice, presupunând că noua informație se dovedește a fi adevărată.

Explicarea formulei teoremei lui Bayes.
Exemple de utilizare a teoremei lui Bayes
Mai jos voi prezenta două exemple de teorema lui Bayes în care primul exemplu aplică teorema lui Bayes la testele etilotest. Al doilea exemplu arată cum formula poate fi derivată într-un exemplu de investiții în acțiuni folosind Nvidia (NVDA).
Exemplu numeric al teoremei lui Bayes
Ca exemplu numeric, să ne imaginăm că există un test cu etilotest cu o precizie de 98%, ceea ce înseamnă că 98% din timp, arată un rezultat adevărat pozitiv pentru cineva care a băut alcool, iar 98% din timp, arată un rezultat adevărat. rezultat negativ pentru consumatorii fără alcool. În continuare, să presupunem că 0,5% dintre oameni consumă alcool. Dacă o persoană selectată aleatoriu este testată pozitiv pentru alcool, se poate face următorul calcul pentru a determina probabilitatea ca persoana respectivă să fie de fapt un consumator de alcool.
(0,98 x 0,005) / [(0,98 x 0,005) + ((1 – 0,98) x (1 – 0,005))] = 0,0049 / (0,0049 + 0,0199) = 19,76, XNUMX%.
Teorema lui Bayes arată că, chiar dacă o persoană a fost testată pozitiv în acest scenariu, există aproximativ 80% șanse să nu consume alcool.
Deduceți formula teoremei lui Bayes
Teorema lui Bayes decurge pur și simplu din axiomele probabilității condiționate, care este probabilitatea unui eveniment dat fiind că un alt eveniment a avut loc. De exemplu, o întrebare simplă de probabilitate ar putea fi: „Care este probabilitatea ca prețul acțiunilor Nvidia să scadă?” Probabilitatea condiționată duce această întrebare cu un pas mai departe: „Care este probabilitatea ca prețul acțiunilor NVDA să scadă, având în vedere că indicele Nasdaq (NDAQ) a scăzut mai devreme?” Probabilitatea condiționată a lui A dat fiind că B sa întâmplat poate fi exprimată astfel: Dacă A este: „Prețul NVDA scade”, atunci P(NVDA) este probabilitatea ca NVDA să scadă; iar B este: „NDAQ-ul a scăzut deja”, iar P(NDAQ) este probabilitatea ca NDAQ-ul să fi scăzut; atunci expresia probabilității condiționate este citită ca „probabilitatea ca NVDA să scadă în condițiile unei scăderi a NDAQ este egală cu probabilitatea ca prețul NVDA să scadă și NDAQ să scadă peste probabilitatea unei scăderi a indicelui NDAQ”.
P(NVDA|NDAQ) = P(NVDA și NDAQ) / P(NDAQ) P(NVDA și NDAQ) este probabilitatea ca A și B să apară. Este, de asemenea, aceeași cu probabilitatea ca A să apară înmulțită cu probabilitatea ca B să apară, dat fiind că A apare, exprimată ca P(NVDA) x P(NDAQ|NVDA). Faptul că aceste două expresii sunt egale duce la teorema lui Bayes, care este scrisă ca
da, P(NVDA și NDAQ) = P(NVDA) x P(NDAQ|NVDA) = P(NDAQ) x P(NVDA|NDAQ)
apoi, P(NVDA|NDAQ) = [P(NVDA) x P(NDAQ|NVDA)] / P(NDAQ). Unde P(NVDA) și P(NDAQ) sunt probabilitățile ca Nvidia și Nasdaq să cadă, fără a lua în considerare unul de celălalt. Formula explică relația dintre probabilitatea ipotezei înainte de a vedea dovezile că P(NVDA) și probabilitatea ipotezei după obținerea dovezilor P(NVDA|NDAQ), având în vedere o ipoteză pentru Nvidia având în vedere dovezile din Nasdaq.